Eğik Asimptot

tarafından Honore Bir Çarş. Haz. 03, 2009 12:19 pm

y=(6x²-x³)^1/3 eğrisinin eğik asimptotunun eksenlerle oluşturduğu alan kaç birim karedir?

(Cevap: 2)

(Lise-3 Matematik, Emrullah Kaplan, 2002, Sayfa 233'deki örnekten uyarlama)

tarafından kylie Bir Çarş. Haz. 03, 2009 1:40 pm

ya evet ya sırf bu soru yüzünden asimptotlarla ilgili bir video izledim demin ama hala çözemiyorum:D biri el atsın lütfen

tarafından ultraslan9191 Bir Çarş. Haz. 03, 2009 11:52 pm

bir arkadaşımın çözümü alıntı yani...

tarafından Honore Bir Perş. Haz. 04, 2009 10:36 am

Küpkökün içi ayarlanarak yapılmış gerçekten son derece pratik bir çözüm. Çok teşekkürler. [(2-x)³ olması halinde a=-1 çıktığına dikkat edilmesi ve test sınavında sonucu etkilememesine rağmen klasik bir sınavda sorun olabileceği için küpkök içinin (2-x)³+12x-8 şeklinde düzenlenmesi uygun olur.]

Kitapta eğik asimptotun bulunuşu şöyle yapılmış (bazı ayrıntılar yoktu):

ve eğik asimptotun eksenleri kestiği noktalar (0, 2) ve (2, 0) olduğundan meydana gelen üçgenin alanı da 2*2/2=2 birim kare olur.

http://en.wikipedia.org/wiki/Asymptote adresindeki teorik açıklamaya göre yapılan daha uzun çözüm:
http://img192.imageshack.us/my.php?image=egikasimptotsol2.gif
Grafik: (çözüm için gerekli değil)
http://img192.imageshack.us/my.php?image=egikasimptotgrafik.gif

tarafından FiskiranZeka Bir Perş. Haz. 04, 2009 12:18 pm

Honore hocam;
Kafama takılan yerleri soracağım.
http://img192.imageshack.us/i/egikasimptotgrafik.gif/

Asimptot denklemi elde etmek için;
Bize verilen küpkök dereceli fonksiyonun sonsuzdaki limiti lazım... ( Doğru mu ? )
Fonksiyonumuz = küpkök( 6x^2 - x^3 )
x yerine sonsuz yazıp limit alsam bir şey gözükmüyor. ( gözüküyor aslında, x=-y doğrusuna benzer bir şeyin kokusu geliyor ama neyse ).
x yerine sonsuz yazıp doğrudan limiti göremiyorum. Löpital yapıp da x yerine sonsuz yazma hakkım da var... 12x - 3x^2 bölü (..x...)^2/3
löpital yapıp, x'e sonsuz yazsam gene bir şey gözükmüyor.

Kitabı yazan hocamız,
Fonksiyonumuz = küpkök( 6x^2 - x^3 ) 'ü , x'e böler de, sonsuzdaki limiti alırsam,
bana asimptotun eğimini verir demiş. Bunu neye dayanarak demiş ?

http://matematikte.eniyiforum.biz/turev-f88/asimptotlar-t2427.htm
" benzer bir soruyu, yukarıda limitini löpital yardımıyla alarak çözmüşüm "
dedim burada niye olmasın Smile

ama pek olur gibi gözükmüyor bu kafama takıldı..
+ asıl fonksiyonu x'e bölünce ve sonsuzdaki limitini alınca, neden eğik asimptotun eğimini veriyor ?
+ hatta asıl fonksiyonu x^2'ye bölersek ve sonsuzdaki limiti alırsak bu sefer de, eğri (curve) asimptotun denklemini verir büyük ihtimalle. (x^4 veya daha yüksek dereceli fonksiyonlar için geçerlidir herhalde ? ) Doğru mu acaba? Sadece tahmin yürüttüm...
Eğer o öyleyse, bu da böyledir büyük ihtimalle.

+ (benim bildiğim kadarıyla ) bir fonksiyonun eğik asimptotu olabilmesi için,
kesirli fonksiyonun, payını paydasına böldüğümüzde,
ax + b + c/qx şeklinde bir ifade elde etmeliyiz.
c/qx' in sonsuzdaki limiti zaten 0 olacağı için, fonksiyonumuzun sonsuzdaki limiti
yani başka bir deyişle eğik asimptot denklemi geriye kala kala, ax+b kalacağından ,
ax + b olacaktır.
İşte bu yukarda verdiğim bilgi ile bu soruyu özdeşleştiremedim.

tarafından Honore Bir Perş. Haz. 04, 2009 1:58 pm

Sayın Emrullah Kaplan Hoca, kitabının 223. sayfasında konuyu şöyle anlatmış:

f fonksiyonunun grafiği şekildeki eğri ve bunun eğik asimptotu d doğrusu ve d doğrusunun x ekseni ile yaptığı pozitif yönlü açının ölçüsü θ olsun.

d, eğik asimptot olduğundan, 0 < θ < π ve θ ≠ π/2 olur.

Eğrinin bir P (x, y) noktasının x ekseni üzerindeki dik izdüşümü N ve PN, d doğrusunu
M (x, b) noktasında kesmiş olsun ve P noktasından d doğrusuna PH dikmesi çizilsin. d doğrusu eğrinin asimptotu olduğundan lim(x->∞)|PH|=0 olur.

Diğer yandan, m(MPH)=θ ve |PM|=|PH|*secθ yazılır ve θ sabit olduğundan,
lim(x->∞)|PM|=lim(x->∞)|PH|*secθ=0*secθ=0 elde edilir.

Asmptotun denklemi y=mx+n (m≠0) ise |PM|=|PN|-|MN|=y-b=f(x)-(mx+n) ve
lim(x->∞)|PM|=lim(x->∞)[f(x)-mx-n]=lim(x->∞)x[f(x)/x - m - n/x]=0 yazılarak
son ifadede köşeli parantezin içinin limiti sıfırdan farklı bir sayı ya da sonsuz olması halinde
bu limit sıfır olamayacağından lim(x->∞)[f(x)/x - m - n/x]=0 olmalıdır.
x->∞ için n/x->0 olacağından lim(x->∞)[f(x)/x - m]=0 => m=lim(x->∞)[f(x)/x] ve
lim(x->∞)[f(x) - mx - n]=0 => n=lim(x->∞)[f(x) - mx] bulunur.

Burada, x->∞ için yapılan ispatlar, benzer biçimde x->-∞ için de yapılabilir.

İlk sorunuzun cevabı da böylece verilmiş oluyor çünkü sadece y=f(x) fonksiyonunun (x->∞) için limiti alınmıyor.

Alttaki mesaj için: Rica ederim. Sağ olsun sayın Emrullah Kaplan Hoca ayrıntılarıyla anlatmış.

tarafından FiskiranZeka Bir Perş. Haz. 04, 2009 2:06 pm

Wow !

Teşekkür ederim.

Edit ;
Madem Honore hocam benim için onca emek verip o ispatları düzenlemiş Smile

Elimi taşın altına azcık da ben koyayım. Honore hocam, test çözerken bir soru gördüm çözdüm ama kafama başka birşey takıldı, ben de soru haline getirdim ve kendimce çözdüm.
Çözüm doğru olmuş mu ?

http://images.foraster.us/imgs/-42852348asymptot.JPG
( Kaynak: Fem ÖSS MAT 2 Konu anlatımlı 2007 Basım, Sf:610 Soru:8 )
( Sorudaki verilere dokunulmamıştır lakin, soru değiştirilmiştir. )
Yeni Soru:
Grafiği ve grafiğinin altında denklemi verilen F(x) fonksiyonunun,
grafikte eğik ve düşey asimptotları görülüyor.
Düşey asimptotunun denklemi nedir ?

Çözüm;
F(x) = (x-3)*(x-2) / (x-1)
F(x) = ( x^2 - x - 6 ) / (x-1)
paydada (x-1) olması, paydaki ifadenin x-1 parantezine alınıp, x-1 çarpanının kaldırılması anlamına da gelir. Son durumda yeni ifademiz yine F(x) olacaktır.
payı x-1 'e bölersek
bölüm : x
kalan -6 olduğundan
F(x) = x - [ 6 / (x-1) ] olur
lim F(x) (x sonsuzda iken) = eğik asimptot denklemi
= lim [ x - [ 6 / (x-1) ] ]
sayı / sonsuz = 0 olduğundan
eğik asimptot dneklemi = lim x = x
eğik asimptot denklemi = g(x) = ax + b = x
g(x) = x Smile

x=y doğrusu eğik asimptotumuz demektir.
o halde o grafikte verilen eğik asimptot doğrusu, ( zaten benziyor )
x=y doğrusudur.

tarafından Honore Bir Paz Haz. 07, 2009 12:59 pm

Görebildiğim ve bildiğim kadarıyla polinom kesirli fonksiyonlarda pay'daki polinomun derecesinin, payda'daki polinomun derecesinden büyük olması halinde büyük dereceli polinomun küçük dereceli olana bölünmesiyle elde edilecek olan bölüm fonksiyonu eğri veya eğik asimptotu verir. (Kaynak: Aynı kitap, sayfa 228)

Bu problemde de söz konusu bölme işlemi yapıldığında elde edilen bölüm fonksiyonu 1. derece olduğundan y=x (1. açıortay doğrusu) eğik asimptot olur. Asıl fonksiyonun sonsuz olması için payda'daki ifadenin sıfır olmasını sağlayan x=1 doğrusu da dediğiniz gibi düşey asimptottur.

Not:
Sorunuzu az önce özel mesajınız sayesinde gördüm çünkü ben ilave açıklamayı yazdıktan sonra aynı mesaja ekleme yaptığınızdan dolayı sistem tarafından yeni gelen mesaj gibi değerlendirilmediğinden haberim olmadı. Böyle durumlarda son mesajın silinip son haliyle tekrar gönderilmesi yeni mesaj durumu oluşturur ve görülmeme sorununu çözer. Smile

Eğik Asimptot

Eğik Asimptot

Geri: Eğik Asimptot

Geri: Eğik Asimptot

Geri: Eğik Asimptot

Geri: Eğik Asimptot

Geri: Eğik Asimptot

Geri: Eğik Asimptot

Geri: Eğik Asimptot