Parabolde Alan

tarafından Honore Bir Çarş. Ekim 28, 2009 10:13 am

Bilkent'den uyarlama:

Doğrultmanı y=-1/4 olan ve eksenleri sadece orijinde kesen parabole (1, -3) noktasından çizilen teğetlere göre oluşan değme kirişiyle parabol arasındaki alan kaç birim karedir?

(Cevap: 47/3)

Sorunun Aslı:
There are two distinct straight lines that pass through the point (1, -3) and are tangent to the curve ..... . Find their equations.

Notlar:
1. .... olan yerdeki parabol denkleminin, verilen bilgilerle bulunması amaçlandığından yazılmamıştır.

2. Sorunun dün akşamki halinde yazılı "orijinden geçen" ifadesi altı çizili bölüm şeklinde,
y=-1/2 doğrultman denklemi de y=-1/4 olarak değiştirilmiştir.

tarafından Nevfer Bir Perş. Ekim 29, 2009 12:37 am

Sayın Hocam 16/3 buluyorum. Smile

tarafından Honore Bir Perş. Ekim 29, 2009 11:08 pm

Sayın Nevfer Hocam soru;
www.fen.bilkent.edu.tr/~kaptan/113/f09hw1.pdf (Soru 4)
www.fen.bilkent.edu.tr/~kaptan/113/f09hws1.pdf (Teğet denklemlerinin, türevden yararlanılarak bulunması)

Ben de uyarlama kısmına ait çözümümü göstermeye çalışayım, hazırladığım sırada göremediğim bir hatam varsa sizin de kontrolunuzla burada bulabiliriz:

Parabol, eksenleri sadece başlangıç noktasında kestiğinden ve doğrultman denklemine göre x²=2py => y=(1/2p)x² ve doğrultman denklemi de y=-p/2 olduğundan -p/2=-1/4 => p=1/2 ve parabolün denklemi de böylece y=x² çıkar.

Türev kullanılmadan teğet denklemleri şöyle de bulunulabiliyor:
Teğetlerin genel denklemi: y=mx+n ise parabol ile kesiştirilirse x²-mx-n=0 ve Delta=m²+4n=0 (I) denklemi yazılabilir. Teğetlerin kesim noktası (1, -3) olduğundan -3=m+n (II) denklemi yazılabilir. (I) ve (II) eşitliklerinden
m₁=-2 => n₁=-1
m₂=6 => n₂=-9
çıktığından teğet denklemleri y=-2x-1 ve y=6x-9 elde edilir ve parabol ile kesiştirilirse değme noktaları da (-1, 1) ve (3, 9) olur. Buraya kadar sonuçlar zaten sayın Turgay Kaptanoğlu Hoca'nın çözümleriyle aynı.

Uyarlama Kısmındaki Çözümüm:
Değme noktalarını birleştiren doğru parçası olan değme kirişiyle x-ekseni arasında oluşan dik yamuğun alanı da (1+9)4/2=20 birim kare.

Değme kirişiyle parabol arasındaki alan = Dik yamuğun alanı - (Değme noktaları arasında parabolün, x ekseniyle arasındaki alanların toplamı)

Değme noktaları arasında parabolün, x ekseniyle arasındaki alanların toplamı = int (-1'den 0'a) x²dx + int (0'dan 3'e) x²dx = [0-(-1/3)] + (27/3-0) = (1/3)+9 = 13/3 yazıp burada hata yapmışım çünkü 28/3 olması lazımdı Sad

Değme noktaları arasında parabolün, x ekseniyle arasındaki alanların toplamı = 20 - 28/3 = 32/3 çıkıyor. Göremediğim başka bir hata mı var?

tarafından Nevfer Bir Cuma Ekim 30, 2009 9:50 am

Yukarıdaki çözüm tamamen doğrudur Honore Hocam.
Ben yalnız sizin demek istediğinizi anlamamışım. Sorunun daha önceki hâlinde "orijinden geçen" yeterliydi benim için, keşke "değme kirişiyle" kısmını değiştirseydiniz

, benim ufak aklım anlamadı onu Hocam.

Değme kiriş deyince, değme genellikle teğetlere kullanılan yardımcı bir sıfat olduğundan ben dış kiriş-değme kiriş anladım, yâni teğetlerle parabol arasındaki aşağıda da gösterdiğim gibi taralı bölgeyi hesapladım.
Sorunun o bölümü, "...çizilen teğetleri değme noktasında kesen kirişin parabol ile....." şeklinde olsaydı ancak o zaman sizin demek istediğiniz anlardım sanırım. Ama sorunun edebî görünüşü bu hâliyle de yanlış değil, ben anlamamışım.
Aşağıda sadece alanı nasıl hesapladığımı gösterecek ve üçgenin alanından faydalanarak sizin sonucu elde edeceğim. Bu alan hesabını yazayım dedim, çünkü sanırım böyle bir örnek yok sitede. Fakat soru az bir oynamanızla o kadar güzel bir başka soru hâline gelmiş ki hayran olmamak elde değil, tebrik ederim Honore Hocam.
Çokça; sevgiler, selâmlar, hürmetler...

tarafından Honore Bir Cuma Ekim 30, 2009 10:29 am

Sayın Nevfer Hocam, önce her zamanki çok yakın ilginiz ve kıymetli zamanınızdan ayırıp fedakarca yaptığınız tüm çözüm katkılarınız için çok çok teşekkür ederim.

Aslında soruyu ilk gördüğümde önce olduğu gibi yazıyordum fakat sonra bari dedim parabol konusunu da konuya yeni başlayan üyelerimiz varsa biraz onlar için düşünme/araştırma işi haline getireyim ve bu arada parabolde değme kirişi ifadesine ve tanımına Zafer Yayınları'nın Analitik Geometri kitabını kurcalarken gözüm takıldığı için onu oradan ekledim, konuya yeni girmiş üyelerimiz varsa araştırsınlar beklentisiyle o gece ilk haliyle bıraktım.

Sonra sabaha karşı aklıma takıldı: Bu "orijinden geçen" parabol ifadesi x-eksenini hem orijinde hem de başka bir noktada da kesen y=ax²+bx şeklinde bir parabol olamaz mıydı? Öyle olunca da sorunun aslındaki y=x² parabolü olmaktan çıkar diye düşünüp o özelliğini belirtmek amacıyla eksenleri başka bir noktada kesmediğini belirtmem doğru olur diye düşündüm ve onu göstermek için değişikliği yaptım, bir de o arada p ifadesini de önce yanlış hesapladığımı görünce başta siz olmak üzere o akşam ilgilenmiş olabileceğini düşündüğüm sayın hocalarımıza ve varsa üyelerimize daha fazla mahçup olmayayım diye açıklama yapmam gerekir dedim ama bu sefer de galiba iyice karıştırmışım

.

Nihayetinde soru, sizin determinantlı, şekilli ve profesyonelce gösterilmiş farklı çözümünüzle neyse ki bir şeye benzedi. Gerçekten çok müteşekkirim. Fakat soru hazırlamak nasıl da zor bir olay sayın hocam. Allah sizlere işinizde kolaylıklar versin. Selâmlar ve hürmetler sevgili öğretmenim.

tarafından Nevfer Bir Cuma Ekim 30, 2009 10:41 am

Estağfurullah bir karışıklık yok. Aslî bir mecburiyeti olmadığı hâlde, her bir durumda ilim yapmak, düşünmek her insanın harcı değil Honore Hocam, tebrik ederim.
Asıl ben size müteşekkirim. Smile

Parabolde Alan

Parabolde Alan

Geri: Parabolde Alan

Geri: Parabolde Alan

Geri: Parabolde Alan

Geri: Parabolde Alan

Geri: Parabolde Alan